ECUACION DE LA RECTA EN EXAMEN DE ADMISION
Si respondes afirmativamente a las siguientes preguntas:
1. ¿Enfrentarás un examen de
admisión?
2. ¿La matemática no es tu
fuerte? y
3. Determinar la ecuación de una
recta ¿es difícil para ti?
Te invito a leer toda la página y veas los vídeos sugeridos.
Suele pasar que al estar
frente a un examen de matemáticas se
olviden definiciones, teoremas o ecuaciones que permiten resolver ejercicios o problemas matemáticos y, es
posible que en ese momento se generen sentimientos de desalientos,
desesperanzas y quizás hasta derrotistas. Son situaciones en las que desearías
tener una alternativa para enfrentar con éxito el ejercicio o problema que
tienes enfrente. Peor aún si el examen en cuestión determina aspectos
trascendentes de nuestra vida; por ejemplo, una prueba de admisión a la Universidad.
Una de las razones del
olvido señalado arriba, es que son tantas cosas por aprender de memoria que
terminas olvidando varias de éstas. Desde hace muchos años, instruyo a
estudiantes para enfrenar el examen de
admisión de matemáticas, lo cual me ha permitido ir observando que la
mayoría de los(as) estudiantes tiene dificultad con la matemática; por ello, he
diseñado estrategias alternativas para enfrentar ciertos tipos de ejercicios y
problemas, incluyendo aquellos vinculados con la ecuación de la recta.
El truco, si así quieres
llamarlo, te permitirá acertar con la
opción correcta, prácticamente sin necesidad de saber de memoria la ecuación punto-pendiente, cuando en un
ejercicio te den uno, dos, tres, etc. puntos
por donde pasa la recta y pidan la ecuación
de la recta. Por cierto, la ecuación de la recta es un tópico vinculado a
la Geometría Analítica.
Aún cuando tengo toda la
voluntad de compartir estrategias, sé que jamás podré sustituir la experiencia
personal alumno(a)-profesor(a). Además, siempre existirán personas
(especialmente los que tienen habilidades
matemáticas) que podrían pensar que las estrategias descritas más adelante
y las páginas que encontrarás enlistadas en este blog, son aburridas e
inaplicables. Pero, como ya expliqué, han
sido utilizadas por centenares de jóvenes que he instruido para enfrentar el
examen de admisión de matemáticas. En promedio, el 82% de los jóvenes que he
preparado para enfrentar la prueba de admisión a quedado satisfecho con las
estrategias, al utilizarlas y tener éxito en dicho examen.
Dado que existen diversas Universidades latinoamericanas, que, según
los objetivos de cada una, utilizan los exámenes
de admisión como mecanismos de selección de sus estudiantes y es una práctica
generalizada que los ejercicios y problemas de dichos exámenes contengan
opciones; lo cual es un recurso que puede utilizar a su favor, en ciertas
circunstancias, el(la) joven que enfrentará una prueba de admisión en alguna Universidad. Algunas de las
circunstancias, es determinar la ecuación
de la recta cuando en el ejercicio se den uno o más puntos por donde pase
la recta.
La mayoría de las Universidades latinoamericanas no
permiten el uso de la calculadora en
sus pruebas de admisión de matemáticas; pero, esto no limita el alcance (de la
mayoría) de estrategias que encontrarás en este blog. Por supuesto, debes
practicar “los trucos” –lícitos– para acertar con la
opción correcta en problemas y ejercicios matemáticos del examen de admisión. No olvides
que: al final tú decides, obviamente, si deseas utilizarlos o no. Yo, sólo pretendo ofrecerte estrategias ALTERNATIVAS que reduzcan
significativamente la dificultad (que tú puedas tener) para resolver ejercicios
y problemas matemáticos. Si eres hábil con la matemática, el
contenido de este blog no lo disfrutarás, dado que está pensado y diseñado para
aquellos que tienen habilidades matemáticas limitadas.
También te aclaro que los
vídeos sugeridos en el desarrollo del blog pueden generar la falsa expectativa
de que llevaría mucho tiempo el uso de la estrategia; pero, únicamente se debe
a que en estos, trato de explicar minuciosamente cuándo, cómo y porqué utilizar
la estrategia según el tipo de ejercicios. Te aseguro que, si practicas con los
ejercicios contenidos en las guías que dan las universidades, el tiempo de
desarrollo lo disminuirás dramáticamente (como comenté, las estrategias ya han
sido puestas a prueba de forma exitosa por una enorme cantidad de estudiantes
en exámenes de admisión).
Previo a la discusión de
cómo determinar la ecuación de una recta cuando conoces los puntos por donde
ésta pasa, en una prueba de admisión, es imprescindible recordarte algunas
“palabras claves” o frases recurrentes con las que comúnmente se redactan
ejercicios de este tipo. Expresiones como:
“¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa
por el punto…?”,” dado un punto… y la pendiente…, la ecuación de la recta es:”,
“Una recta pasa por los puntos… su ecuación es:”, “ecuación de la recta”,
“puntos por donde pasa la recta”, “puntos contenidos en la recta”, etc.
Recordar estas expresiones en el examen de admisión, te permitirá saber el
momento para utilizar la estrategia que a continuación explico.
CONOCIDO UN PUNTO,
BUSCAR LA OPCION CORRECTA POR SUSTITUCION EN ECUACIONES
Es común, desde México
hasta Chile, que las Universidades que aplican exámenes de admisión, sus
ejercicios y problemas matemáticos contengan opciones; por tanto, se debe
partir de una premisa obvia: Todo lo que en un ejercicio o
problema se pida calcular, hallar, determinar, etc. deberemos esperar esté en
una de las opciones.
Por ejemplo, si en un ejercicio del examen te
piden el dividendo, en una división de polinomios, debes estar seguro de que el
dividendo en cuestión está en una de las opciones. Te puede interesar el
siguiente vídeo
.
Volviendo al tema de esta
página, si una recta pasa por un punto, ese punto
debe satisfacer a la ecuación de dicha recta. Veamos un par de ejemplos
Ejemplo 1. ¿Cuál es la ecuación simétrica de la recta
que pasa por el punto (-3, 5) y cuya pendiente es 2?
Sin importar la forma en la cual pidan la
ecuación (general, simétrica, etc.) de la recta, en este tipo de ejercicios
donde dan al menos un punto por donde pasa la recta, podemos utilizar la
siguiente estrategia: Sustituir el punto dado -en este caso (-3, 5)- en las ecuaciones contenidas en las opciones, hasta ver cuál
ecuación queda verificada con el punto dado.
Otro aspecto importante es que, en el plano
cartesiano, el punto (-3, 5) quiere decir que el primer valor es para las
abscisas “x = -3” y el segundo valor es para las ordenadas “y = 5”. Por tanto,
lo único que se requiere para acertar con la opción correcta es evaluar a las
expresiones de la izquierda del igual (primer miembro) de las ecuaciones,
esperando obtener lo que se observe a la derecha del igual (el segundo
miembro). En este ejercicio, en todas las ecuaciones contenidas en las opciones,
el segundo miembro de estas es el “1”.
§
Iniciemos
con la ecuación de la opción A.
De acuerdo con la regla de los signos en la división: menos
entre menos, es más; así -3/-4 = 3/4. Por tanto
Una alternativa para sumar fracciones es
amplificando a éstas
hasta obtener el mismo denominador en todas las fracciones.
Puedes observar que si multiplico por 2 al 4 (el
denominador de 3/4) me dará 8 (igual al denominador de 5/8); pero, para no alterar, también debo multiplicar al
numerador (al 3) por la misma cantidad (por el
2), así:
Al sumar fracciones
de igual denominador, puedes proceder así: Suma los numeradores y parte la
suma anterior por el mismo denominador de todas las fracciones. En conclusión,
Dado que nosotros esperábamos que el resultado fuese “1”,
es obvio que 11 entre 8 no será igual a 1. Por tanto, la opción A es incorrecta.
§
Ahora
continuemos con la ecuación de la opción B.
De forma semejante a la explicada, evaluemos el primer
miembro de esta ecuación con x = - 3 e y = 5; es decir, en lugar de “x”
escribiremos el “-3” y en lugar de “y” escribiremos el “5”
De acuerdo con la regla de los signos en la división: menos
entre menos, es más;
así -3/-3 = 1. Por tanto
Dado que el resultado obtenido, al realizar cálculos en el
primer miembro de la ecuación, ha sido “2” y
nosotros esperábamos que el resultado fuese “1” (lee la ecuación de la opción
B), concluimos que la opción B es incorrecta.
§
Consideremos
la ecuación de la opción C.
Como -3 = -3/1 (todo número
dividido entre 1, equivale al mismo número. Por eso, -3/1 = -3 o viceversa)
De acuerdo con la regla de los signos en la multiplicación:
menos por menos, es más; además, al multiplicar fracciones, primero simplifica
numeradores con denominadores y después multiplica todos los numeradores. Parte
el producto anterior por el resultado de multiplicar (producto) todos los
denominadores. Así
De lo anterior, observa que 3 por 2 es 6 y 1 por 11 es 11.
Por tanto
Como los denominadores son iguales, realizamos el
procedimiento descrito arriba: sumamos los numeradores (6 y 5) y dicha suma la partimos
por el mismo denominador de todas las fracciones (el 11)
Dado que nosotros esperábamos que el resultado fuese “1”
concluimos que la opción C es correcta.
Como pudiste ver,
para acertar con la opción correcta, no fue necesario:
1.
Utilizar el valor de la pendiente,
dado en el ejercicio.
2.
Saber de memoria la ecuación
punto-pendiente.
3.
Conocer qué es una ecuación
simétrica de la recta.
Ejemplo 2. Un segmento cuyos extremos son (-3, -4) y
(1, 2) tiene por mediatriz a:
Este es un típico ejercicio en el cual te dan
implícitamente el punto por el que pasa la recta. Para acertar con la opción
correcta debes recordar que una mediatriz cumple dos condiciones:
1. Es perpendicular al segmento –forma un ángulo
recto (90°) con el segmento–
2. Toca el punto
medio del segmento.
Esto implica que primero debemos calcular el punto medio
del segmento; para ello, basta promediar las abscisas y las ordenadas. Es decir, dividir entre 2 la suma de las abscisas (los valores de “x”) y de
forma semejante con las ordenadas
(los valores de “y”).
Por tanto, en los puntos (-3, -4) y (1, 2), las
correspondientes abscisas son x = -3 y x = 1, las ordenadas son y = -4 e y = 2.
Así, la abscisa y ordenada del punto medio del segmento, respectivamente,
serán:
En resumen, la coordenada del punto medio del segmento es
(-1, -1). Ahora, como la mediatriz
ha de pasar por el punto medio del
segmento, dicho punto (-1, -1) debe satisfacer a una de las ecuaciones
contenidas en las opciones (es decir, que el resultado de las operaciones ha realizar en el primer
miembro debe ser igual al resultado del segundo miembro).
·
Iniciemos
con la ecuación de la opción A.
Recuerda: esperamos que el resultado de las operaciones
realizadas del segundo miembro sea igual al primer miembro (-1).
Por tanto,
Como los denominadores son iguales, lo que debemos hacer es
operar los numeradores. Dado que los signos son iguales, sumamos y el signo lo
conservamos
Observa que – 9 – 2 = – 11,
a partir de
vemos que
porque -11/6 no es igual a -1
En conclusión, la opción A es
incorrecta.
·
Continuemos
con la ecuación de la opción B.
Como los denominadores son iguales, lo que debemos hacer es
operar los numeradores. Dado que los signos son diferentes, restamos y
prevalece el signo de la magnitud mayor
Observa que 2 – 5 = – 3
a partir de
y que
-1 = -1
En conclusión, la opción B es correcta. Y ya es innecesario
comprobar el resto de las opciones.
Para ver la estrategia en acción mira el siguiente vídeo:
EJERCICIOS MATEMATICOS POR PRACTICAR.
ESTRATEGIA:
USAR EL PUNTO DADO Y SUSTITUIR EN ECUACIONES
1. Hallar la ecuación general de la recta cuya
pendiente es 4 y pasa por el punto (-2, 3)
A. – 4x + y – 11 = 0 B. 2x – 3y
+ 6 = 0 C. x + 3y – 6 = 0 D. x + y –
3 = 0 E. x – y – 1 = 0
2. Por el punto (5, -1) pasa la recta de pendiente
-1/2. La ecuación de la recta es:
A. x + y = - 4 B. 2x – y =
10 C. x + 3y = 6 D. x – y = 7 E. x + 2y = 3
3. ¿Cuál es la ecuación general de la mediatriz
del segmento cuyos extremos son (0, 2) y (-4, 6)?
A. x + y – 4 = 0 B. x + y –
6 = 0 C. 6x + 4y – 7 = 0 D. x + y –
2 = 0 E. x + 2y – 3 = 0
DADOS DOS
PUNTOS, BUSCAR LA OPCION CORRECTA POR SUSTITUCION EN ECUACIONES
Es posible que, en ejercicios de geometría analítica del examen de admisión, relacionados con la
ecuación de la recta, den más de un punto por donde pasa la recta.
En esta situación, si una recta pasa por uno, dos, tres, etc. puntos, todos
esos puntos deben satisfacer a la ecuación de dicha recta. Veamos un ejemplo
1.
Una
recta pasa por los puntos (4, -1) y (2, 5), su ecuación es:
A. –x = 2y + 6 B. 2x = y + 9 C. 3x = 11 – y D. 4x = 9 – y E. x = 5 + y
Sin importar la forma en la cual pidan la
ecuación (pendiente-intersección, abscisa y ordenada en el origen, etc.) de la
recta, en este tipo de ejercicios donde dan dos o más puntos por donde pasa la
recta, podemos utilizar la siguiente estrategia: Sustituir los puntos
dados -en este caso (4, -1) y (2, 5)- en las ecuaciones contenidas en las opciones, hasta hallar la
ecuación que quede verificada por todos los puntos dados.
Como ya expliqué, en el plano cartesiano, el punto (4, -1) quiere decir que el primer valor
es para las abscisas “x = 4” y el segundo valor es para las ordenadas “y = -1”.
De forma semejante para el punto (2, 5). Por tanto, lo único que se requiere
para acertar con la opción correcta es evaluar (con los puntos dados en el
ejercicio) a las expresiones de la izquierda del igual (primer miembro) y a la
derecha del igual (el segundo miembro) de las ecuaciones.
§
Iniciemos
con la ecuación de la opción A.
–x = 2y + 6
Evaluemos ambos miembros de esta ecuación con x = 4 e y = -1; es decir, en lugar de “x” escribiremos
el “4” y en lugar de “y” escribiremos el “-1”.
– 4 = 2(– 1) + 6
Dado que 2 por – 1 es igual a – 2
– 4 = – 2 + 6
Siendo que al 2 y 6 le anteceden signos diferentes, se debe
restar y prevalecer el signo de la cantidad mayor, – 2 + 6 = 4, la ecuación
resultó
– 4 = 4
Lo cual, obviamente, es un absurdo, porque – 4 no es lo mismo que 4. Por tanto, ya no es
necesario evaluar la ecuación con el punto (2, 5) y concluimos que la opción A es
incorrecta.
§
Continuemos
con la ecuación de la opción B.
2x = y + 9
Evaluemos ambos miembros de esta ecuación con x = 4 e y = -1;
es decir, en lugar de “x” escribiremos el “4” y en lugar de “y” escribiremos el
“-1”.
2(4) = – 1 + 9
Dado que 2 por 4 es igual a 8 y que – 1 + 9 = 8, resulta
que
8 = 8
Por tanto, el punto (4, -1) satisface a la ecuación de la
opción B; pero
¡Cuidado! Marcar como correcta a la opción B sería una acción
ingenua, puesto que aún es necesario comprobar que el punto (2, 5) satisface o
no a la supuesta ecuación de la recta.
2x = y + 9
2(2) = 5 + 9
4 = 14
Lo cual, obviamente, es un absurdo, porque 4 no es lo mismo
que 14. En conclusión, la opción B es incorrecta.
§
Ahora,
consideremos a la ecuación de la opción C.
3x = 11 – y
Evaluemos ambos miembros de esta ecuación con x = 4 e y = -1;
es decir, en lugar de “x” escribiremos el “4” y en lugar de “y” escribiremos el
“-1”.
3(4) = 11 – (– 1)
Dado que 3 por 4 es igual a 12 y que – (– 1) = + 1, resulta
que
12 = 11 + 1
Por tanto, el punto (4, -1) satisface a la ecuación de la
opción C; pero
¡Cuidado! Marcar como correcta a la opción C sería una acción
ingenua, puesto que aún es necesario comprobar que el punto (2, 5) satisface o
no a la supuesta ecuación de la recta.
Para ello sustituyamos x = 2 e y = 5 en
la ecuación
3x = 11 – y
3(2) = 11 – 5
6 = 6
Lo cual, obviamente, es cierto. Y ahora sí estamos totalmente seguros que en conclusión, la opción B es
correcta.
EJERCICIOS MATEMATICOS POR PRACTICAR.
ESTRATEGIA:
USAR LOS PUNTOS DADOS Y SUSTITUIRLOS EN ECUACIONES
Acierta con la opción correcta
utilizando la estrategia sugerida. Al practicar con varios ejercicios,
mejorarás el dominio de la estrategia y reducirás el tiempo en hacer los cálculos.
¡Ánimo!
1. Hallar la ecuación general de la recta que pasa
por los puntos (-2, 3) y (1, 0).
A. – x + y – 5 = 0 B. 3x – 3y
+ 15 = 0 C. x + 3y + 6 = 0 D. 2x + y –
3 = 0 E. x + y – 1 = 0
3. ¿Cuál es la ecuación de la recta que contiene a
los puntos (0, 2) y (-4, 6)?
A. x + y – 4 = 0 B. x + y –
6 = 0 C. 6x + 4y – 7 = 0 D. x + y –
2 = 0 E. x + 2y – 3 = 0
Reitero: Si en un ejercicio del examen de
admisión te dan explícita o implícitamente un, dos, tres, etc. puntos ¡¡por donde pasa la recta!! y te ¡¡piden la ecuación de la recta!! Para acertar con la opción
correcta, basta evaluar a la ecuación con el o los puntos dados; hasta
encontrar la que quede verificada por dichos puntos.
Además, puedes aplicar la estrategia descrita
sin importar que te permitan o no el uso de calculadora en el examen de
admisión, puesto que, generalmente, cuando no permiten calculadora, las
ecuaciones y valores a sustituir son más “sencillos” de trabajar. La verdad es
que los diseñadores de este tipo de exámenes sólo pretenden determinar cuál es
tu conocimiento básico sobre la base del temario propuesto por las
Universidades.
OBSERVACIONES FINALES
1. Al
utilizar la estrategia de sustituir los puntos en las ecuaciones contenidas en la opciones, ten cuidado con el
orden de las operaciones aritméticas.
Si existen signos de agrupación inicia con las operaciones más internas hasta
simplificar los signos de agrupación.
2. Recuerda
la jerarquía de operaciones, cuyo orden es:
a.
Simplificar
signos de agrupación.
b.
Calcula las potencias y las
raíces.
c. Realiza las multiplicaciones y divisiones, según en
el orden que se encuentren de izquierda a derecha. Es decir, si tienes una
multiplicación y después una división, primero realizas la multiplicación;
pero, si tienes una división y después una multiplicación, primero realizas la
división. No olvides la ley de los signos.
d. Realiza las sumas y las restas
recordando que términos con signos iguales debes sumar y el signo conservar y,
términos con signos diferentes debes restar y ha de prevalecer el signo de la
magnitud mayor.
3. Si
te permiten el uso de la calculadora en el examen
de admisión, igualmente debes tener cuidado al realizar los cálculos.
Recuerda que la calculadora jamás pensará por ti en términos de cómo escribes
las operaciones en la calculadora.
Siempre estoy anuente y dispuesto a recibir:
1. Crítica
constructiva (crítica que me ayude a mejorar contenido y estrategias).
2. Preguntas
para aclaración de dudas.
3. Ayuda
con:
a) Traducciones
a otros idiomas de este blog y los vídeos de mi canal en Youtube.
b) Enviarme
tipos de ejercicios, problemas o contenido no abordados en mi blog o canal de
Youtube y que tú quieras sean abordados.
c) Con
el diseño de miniaturas en mis vídeos de Youtube.
4. Sugerencias
en el abordaje de la temática (que tan clara está explicada la estrategia para determinar la ecuación en un examen de admisión).
5. Cualquier
otro asunto que consideres necesario comunicarme en función de mejorar
contenido del blog y vídeos de mi canal.
6. De
antemano gracias por tu aporte, leer el blog y ver los vídeos de mi canal enYoutube.
El siguiente enlace es de este blog “examen de admisión en universidad”.
Para contactarme:
twitter: https://twitter.com/examendeadmisi1
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ESTRATEGIAS. SALUDOS.
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