Multiplicación de fracciones algebraicas en pruebas de ingreso

MULTIPLICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS EN EXAMENES DE ADMISION

La multiplicación de fracciones algebraicas es una de las operaciones con expresiones algebraicas que más se les complica a los y las estudiantes. Si formas parte de estos(as) jóvenes que no saben cómo multiplicar fracciones algebraicas o tienes dificultad para realizar dicha operación y; además, enfrentarás un examen de admisión ¡quédate a leer todo el Blog y mira los vídeos sugeridos!

Entre los temas comunes que se evalúan, explícita o implícitamente, en los exámenes de admisión es la multiplicación de fracciones algebraicas. Por tanto, es imprescindible saber cómo se multiplican fracciones algebraicas cuando toca enfrentar las pruebas de admisión de matemática que aplican ciertas universidades latinoamericanas como mecanismo de selección de jóvenes que estudiarán en sus aulas.

Me he dado a la tarea de encontrar alternativas para -entre otros tópicos que puedes ver enlistados a la derecha de esta entrada- determinar el producto en una multiplicación de fracciones algebraicas propuesta en exámenes de admisión; con estrategias sencillas, comprensibles y aplicables que reducirán significativamente la dificultad que tienen los y las estudiantes con dicha operación y así lograr acertar con la opción correcta, prácticamente sin necesidad que tú sepas multiplicar fracciones algebraicas. Evidentemente, las estrategias que se abordan en este Blog y mi canal de Youtube no son únicas y debes considerar la aplicación de estas según el tiempo que dispongas para dar respuesta a cada pregunta, ejercicio o problema matemático del examen de admisión. Además, considera el hecho si te permiten o no el uso de la calculadora en la prueba de admisión y tus habilidades para realizar operaciones aritméticas. También debes tomar en cuenta las disposiciones administrativas de la Universidad en la cual deseas aplicar.

Me empeño en ayudar a jóvenes que aspiran a la vida universitaria, pero que no alcanzan a tener habilidades y destrezas matemáticas destacables (así, las estrategias que verás acá son para facilitarte el enfrentar exitosamente las pruebas de admisión, no para estudiantes universitarios).

Existe la posibilidad que personas con mediano o mucho conocimiento matemático no compartan mi objetivo y esfuerzo; pero, sólo quiero ayudar al (la) futuro(a) enfermero(a), médico, pedagogo(a), arquitecto, etc. a realizar el sueño de ingresar a la Universidad. Imagina el siguiente escenario hipotético: Un(a) joven se convertirá en un(a) extraordinario(a) médico de llegar a tener la oportunidad de estudiar medicina; pero, dado que no tiene muchas habilidades matemáticas, falla en su examen de admisión de matemáticas y no logra ingresar a la Universidad… ¡sería una pena! Quien sienta que no necesita estrategias que le ayuden a reducir la tradicional complejidad de multiplicar fracciones algebraicas, por favor, sólo abandone el Blog y siga con su búsqueda en otro sitio web.

Previo a la descripción de la estrategia, analicemos el siguiente asunto: Muchas veces ocurre a los y las estudiantes (quizá te pase a ti) no logran discernir cabalmente qué es lo que se pide realizar, encontrar, calcular, etc. en un ejercicio o problema matemático planteado. Una de las posibles razones es la falta de dominio del lenguaje matemático; por tal razón, te ofrezco términos o frases que, en lo general, te ayudarán a comprender cuándo te piden multiplicar fracciones algebraicas en una prueba de admisión. Frases o expresiones como:

“Multiplicar las fracciones algebraicas…”, “el producto de las fracciones algebraicas… es:”, “…”, “si el producto es (fracción o expresión algebraica)… y un factor es (fracción o expresión algebraica)… el otro factor será:”, “Dado los factores (fracciones algebraicas)… el producto es:”, “cuál es el producto de la fracción (algebraica)… por (fracción algebraica)…”, “multiplicar”, “producto”, “factor”, entre otros, son las expresiones, frases o términos más comunes bajo los cuales se redactan los ejercicios matemáticos vinculados con la multiplicación de fracciones algebraicas en los exámenes de admisión de matemática. Obviamente, a medida que practiques, realizando multiplicaciones de fracciones algebraicas utilizando las estrategias que te ofrezco, irás dominando más este asunto.

DETERMINANDO LA OPCION CORRECTA POR SUSTITUCION NUMERICA

SITUACION 1. CONOCIDO LOS FACTORES

Esta estrategia se basa en:

1.    Las preguntas, ejercicios o problemas de las pruebas de admisión tienen opciones; es decir, que la respuesta correcta de lo que se pide hallar, encontrar, calcular, etc., ha de estar en una de las opciones. Se que es obvio, pero la mayoría (cuyo dominio de la matemática no es fuerte) no utiliza este recurso a su favor cuando se enfrenta a un examen de admisión con opciones.

Por ejemplo, si en un ejercicio matemático se pide las soluciones de una ecuación cuadrática, debes estar seguro de que dichas soluciones están en una de las opciones. Te puede interesar el siguiente vídeo

2.    Cualquier expresión algebraica que sea el producto de la multiplicación de dos fracciones algebraicas, la expresión algebraica misma también debe ser igual, numéricamente, a la multiplicación de las dos fracciones algebraicas.

Ejemplo. ¿Cuál es el producto de

Numéricamente, tanto el producto a obtener como la multiplicación de las expresiones algebraicas deben ser iguales. Para verificar la igualdad numérica, asignemos valores para “a”, “b”, “x” e “y” (¡puedes escoger prácticamente cualquier valor! Te sugiero que los valores a seleccionar para los exponentes sean números pequeños; así, los cálculos no serán muy grandes… Lee las observaciones finales en el epílogo de esta entrada).

Se me ocurre x = 2, y = 1, a = 1 y b = 2.

Al sustituir estos valores (x = 2, y = 1, a = 1 y b = 2) en el primer factor

           Puedes observar que en lugar de “x” he escrito el 2; en lugar de “y” he escrito el 1 y así sucesivamente. Ahora, haremos los cálculos poco a poco y siguiendo la jerarquía de operaciones; es decir, “en este ejercicio”, operando en el siguiente orden: Potencias, multiplicaciones, sumas y restas. Continuemos

Dado que

(2)³⁽¹⁾ = 2³ = (2)(2)(2) = 8

(1)³⁽²⁾ = 1⁶ = 1

Obtenemos

Ahora, sustituimos los mismos valores ya seleccionados, (a = 1, b = 2, x = 2, y = 1) en el segundo factor

Como

          (2)²⁽¹⁾ = 2² = 4

         (1)²⁽²⁾ = 1⁴ = 1

Re-expresamos así

Dado que debemos multiplicar

Pero, como tenemos sus respectivos valores numéricos, así:

Lo que equivale a "6"

Ahora, con x = 2, y = 1, a = 1 y b = 2, hallaremos el valor numérico de las expresiones algebraicas contenidas en las opciones, hasta obtener ”6”. Iniciemos…

Opción A

Opción B

Opción C

Opción D

Dado que el valor numérico de

es “6” y,

el valor numérico de la expresión contenida en la opción D

También es “6”. Por tanto,

estamos seguros de que la opción correcta es la opción D.

Te invito a probar con otros valores para “a”, “n”, “x” e “y” realizando todos los cálculos desde el principio, para que practiques la estrategia ofrecida.

Queda en evidencia que esta estrategia evita tener un gran dominio al multiplicar fracciones algebraicas para acertar con la opción correcta en un ejercicio relacionado con la multiplicación de fracciones algebraicas en una prueba de ingreso.

3.    Esta estrategia la puedes aplicar cuando quieras determinar la opción correcta en un ejercicio matemático vinculado con la multiplicación de fracciones algebraicas en pruebas de admisión. Observación: Toma en cuenta que es necesario que en el ejercicio te pidan -explícita o implícitamente- multiplicar fracciones algebraicas. Para fortalecer el uso de la estrategia, observa y escucha el siguiente vídeo

EJERCICIOS MATEMATICOS POR PRACTICAR

ESTRATEGIA: SUSTITUCION NUMERICA PARA HALLAR EL PRODUCTO

Acierta con la opción correcta utilizando la estrategia sugerida. Al practicar con varios ejercicios, mejorarás el dominio de la estrategia y reducirás el tiempo en hacer los cálculos. ¡Ánimo!

NIDEA: Significa ninguna de las anteriores.

SITUACION 2. CONOCIDO EL PRODUCTO Y UNO DE LOS FACTORES

Esta estrategia se basa en la misma lógica expuesta de la situación 1. Sólo que, en este caso, uno de los factores ha de estar en una de las opciones de la prueba de admisión. Por tanto, para acertar con la opción correcta realizamos las siguientes acciones:

    1.    Calculamos el valor numérico del producto dado en el ejercicio.

    2.    Calculamos el valor numérico del factor dado en el ejercicio

    3.    Multiplicamos el valor numérico del paso anterior (paso 2) por el valor numérico de cada una de las expresiones algebraicas contenidas en las opciones (cuál podría ser otra forma de realizar este mismo paso).

    4.    El producto anterior (del paso 3) debemos esperar sea igual al valor numérico obtenido en el paso 1.

   

Ahora, calculemos el valor numérico de las fracciones algebraicas contenidas en las opciones. Iniciemos…

Opción A.

posteriormente multiplicamos el valor numérico de la opción A (3/7) por el valor numérico del factor conocido (4/33).

Opción B.

posteriormente multiplicamos el valor numérico de la opción A (4/5) por el valor numérico del factor conocido (4/33).

Opción C.

posteriormente multiplicamos el valor numérico de la opción A (77/8) por el valor numérico del factor conocido (4/33).

Opción D.

posteriormente multiplicamos el valor numérico de la opción A (11/3) por el valor numérico del factor conocido (4/33).

Obviamente, la opción C es la correcta. Porque se ha obtenido el mismo valor numérico (7/6).

EJERCICIOS MATEMATICOS POR PRACTICAR

ESTRATEGIA: SUSTITUCION NUMERICA PARA HALLAR UNO DE LOS FACTORES

                       

OBSERVACIONES FINALES

   1.    Existe la posibilidad, al utilizar la estrategia numérica para determinar el producto de fracciones algebraicas, que más de una opción tenga el mismo valor numérico de la multiplicación planteada en el ejercicio matemático. Por tanto, si eso llegara a ocurrir, lo que debes hacer es escoger otros valores para las letras contenidas en las expresiones algebraicas y repetir el procedimiento en su totalidad.

   2.    Te sugiero no escojas valores, para las letras, tales como el 0, 1 o 2; porque las posibilidades de que más de una opción tenga el mismo valor numérico de la multiplicación planteada, se incrementen. A decir verdad, la práctica te permitirá ir observando cuáles valores son más convenientes de escoger, según las fracciones algebraicas a multiplicar.

  3.    Si en el examen de admisión no te permitirán el uso de la calculadora, necesitarás escoger valores pequeños para realizar cálculos en el menor tiempo posible. Te sugiero (pero sólo es una sugerencia) escojas los valores siguientes: 3, 5, o 7. En lo general, si en las opciones o el ejercicio observas expresiones tales como (x – 3), no escojas x = 3; si en las opciones o ejercicio observas expresiones tales como (y² – 49), no escojas y = 7, etc.

  4.    Cuando las fracciones algebraicas a multiplicar contengan términos con exponentes literales (letras), utiliza valores pequeños para dichos exponentes (tales como 1, 2 y 3).

   5.    Si en el examen te permitirán el uso de calculadora, escoger valores tales como el 11, 13, 17, 19 vuelve prácticamente improbable que ocurra lo explicado en el numeral 1 (aunque no debes olvidar la observación 3) de las observaciones finales. Pero, si los términos de las fracciones algebraicas a multiplicar contienen literales en los exponentes, escoge valores para los exponentes tales como 1, 2, 3, 4 o 5.

   6.    Si las fracciones algebraicas a multiplicar contienen más de una letra, te sugiero escoger valores diferentes para cada una de las letras.

Si al resolver los ejercicios matemáticos propuestos arriba, aún llegas a tener dudas sobre haber determinado la opción correcta, puedes enviarme la opción (de cada ejercicio propuesto) que tú consideras correcta. Para contactarme, dejo las formas para hacerlo al final de esta página. Yo te responderé en el menor tiempo posible ¡Ánimo!

Siempre estoy anuente y dispuesto a recibir:

    1.    Crítica constructiva (crítica que me ayude a mejorar contenido y estrategias).

    2.    Ayuda con:

a)    Traducciones a otros idiomas de este blog y los vídeos de mi canal en Youtube.

b)    Enviarme tipos de ejercicios, problemas o contenido matemático no abordados en mi blog o canal de Youtube.

c)    Con el diseño de miniaturas en mis vídeos de Youtube.

    3.    Sugerencias en el abordaje de la temática (que tan clara está explicada la estrategia para acertar con la opción correcta en ejercicios donde se deba multiplicar fracciones algebraicas).

   4.    Cualquier otro asunto que consideres necesario comunicarme con ánimo de mejorar contenido del blog y vídeos de mi canal.

El siguiente enlace es de este blog “examen de admisión de Matemática. Primer ingreso”.

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Prueba de admisión. Sistema de tres ecuaciones lineales.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCOGNITAS EN EXAMENES DE ADMISION

Si para ti, resolver sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas es complicado y difícil. Además, tienes una limitada destreza matemática y en el futuro (cercano o lejano) enfrentarás un examen de admisión ¡quédate a leer todo el Blog y mira los vídeos sugeridos!

Es común, para exámenes de admisión, enfrentar ejercicios en los que debes saber cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables; por tanto, no cabe duda, que la falta de comprensión o habilidad matemática para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con 3 incógnitas influye negativamente al éxito en el examen de admisión de matemática.

Mi propósito es ayudar a todos(as) aquellos(as) jóvenes cuya meta inicial es ingresar a la Universidad, pero que sus habilidades matemáticas son limitadas (por lo que las estrategias que verás acá son para facilitarte el enfrentar exitosamente el examen de admisión, no para estudiantes universitarios.

Es probable que individuos con mediano o mucho conocimiento matemático critiquen mi esfuerzo y entusiasmo; pero, sólo quiero ayudar al (la) futuro(a) arquitecto, ingeniero(a), periodista, historiador(a), pedagogo(a), antropólogo(a), etc. a realizar el sueño de ingresar a universidades en las que aplican pruebas de admisión. Imagina el siguiente escenario hipotético: Un(a) joven se convertirá en un(a) extraordinario(a) antropólogo(a) de llegar a tener la oportunidad de estudiar antropología profesionalmente; pero, producto que no tiene muchas habilidades matemáticas, falla en su examen de admisión de matemáticas y no logra ingresar a la Universidad… ¡sería una pena! Quien sienta que no necesita de las estrategias que acá se discutirán, por favor, sólo abandone el Blog y siga con su búsqueda en otrapágina web.

Con el objetivo de ayudarte, me he dado a la tarea de encontrar alternativas para acertar con la opción correcta cuando toque resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables en pruebas de admisión con estrategias sencillas, comprensibles, aplicables y que reducen significativamente la complejidad de los problemas y ejercicios matemáticos (además, encontrarás otros tópicos a la derecha de este blog -o al final, si usas un celular-). Por supuesto, las estrategias que se abordan en este Blog y mi canal de Youtube no son únicas y debes considerar la aplicación de estas, según el tiempo que dispongas para dar respuesta a cada pregunta o problema matemático de la prueba de admisión; el hecho si te permiten o no el uso de la calculadora en el examen de admisión y tus habilidades para realizar operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, etc.). Por último, la normativa de la Universidad en la cual deseas aplicar.

Antes de entrar en detalle con la explicación de la estrategia, es necesario discutir un asunto importante. Suele ocurrir que los(as) jóvenes (quizás te pase a ti) no logran discernir cabalmente qué se pide hallar, calcular, resolver, determinar, desarrollar, etc. en los ejercicios y problemas matemáticos planteados en las pruebas de admisión. Probablemente, una de las razones es la falta de dominio del lenguaje matemático; por tanto, daré algunos términos o frases que, en lo general, te ayudarán a comprender cuándo se pide resolver sistemas ecuaciones lineales en un ejercicio. Frases o expresiones como:

“Resuelva el sistema de ecuaciones …”, “las soluciones del sistema …”, “Al resolver el sistema de ecuaciones lineales… se obtiene”, “en el sistema… sus soluciones son:”, “Se tiene por soluciones del sistema de ecuaciones… a:”, “qué valores verifican al sistema” … entre otros, son las expresiones, frases o términos más comunes bajo los cuales se redactan los ejercicios vinculados con la solución de sistema de ecuaciones lineales con 3 variables en los exámenes de admisión de matemática. Obviamente, a medida que practiques, resolviendo sistema de ecuaciones lineales utilizando la estrategia que te ofrezco, tendrás mayor control sobre este asunto.

Recuerda: Un sistema de ecuaciones lineales está formado por ecuaciones lineales (es decir, ecuaciones que en su estructura tienen expresiones algebraicas en donde las letras tienen el exponente 1).

BUSCANDO LA OPCION CORRECTA POR SUSTITUCION DE VALORES CONTENIDOS EN LAS OPCIONES

SITUACION 1. DADAS TODAS LAS SOLUCIONES

Esta estrategia se basa en:

1.    Las preguntas, ejercicios o problemas de los exámenes de admisión suelen tener opciones; es decir, que la respuesta correcta de lo que se pide hallar, encontrar, calcular, etc., ha de estar en una de las opciones. Por tanto, puedes utilizar este recurso a tu favor cuando te enfrentes a un examen de admisión.

Por ejemplo, si en un problema se pide calcular el volumen de un prisma rectangular, estoy seguro de que dicho volumen está en una de las opciones. Te puede interesar el siguiente vídeo (AGREGAR VIDEO dE PROBLEMA SOBRE prisma rectangular)

2.    Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables son aquellos valores de las variables -incógnitas o letras- que lo verifican (lo hacen verdadero).

Ejemplo. Si las soluciones del sistema

son a = 6, b = 8 y c = 4. Implica que dichos valores –y únicamente éstos valores- verificarán a las tres ecuaciones de forma simultánea. Por tanto, lo que debemos hacer (para evitar realizar el desarrollo matemático con método de Cramer, Gauss u otro) es sustituir los valores en cada una de las ecuaciones; esperando que el cálculo realizado en el primer miembro de cada ecuación sea igual al cálculo (o valor) del segundo miembro de la misma ecuación.

Iniciemos con la primera ecuación del sistema

Sustituyamos los valores a = 6, b = 8 y c = 4 en el primer miembro de dicha ecuación

Lo que debemos esperar es que el cálculo realizado de igual a “1” (el cual es el valor del segundo miembro). Sustituyamos y realicemos los cálculos propuestos

Observa que en lugar de “a” he escrito el 6; en lugar de “b” escribí el 8 y en lugar de “c” escribí el 4. Además, 1/6 por 6 equivale a 6/6 = 1; 1/2 por 8 equivale a 8/2 = 4. a = 6, b = 8 y c = 4 han verificado la primera ecuación del sistema, porque el resultado esperado (1) es igual al calculado (1).

Pero, es NECESARIO sustituir los mismos valores en las otras dos ecuaciones. Por lo tanto, sustituyamos a = 6, b = 8 y c = 4 en la segunda ecuación

Así, iniciemos sustituyendo los valores mencionados en el primer miembro de dicha ecuación y esperamos que el cálculo resultante sea igual al segundo miembro, el “1”.

Observa que 1/3 por 6 equivale a 6/3 = 2; 1/4 por 8 equivale a 8/4 = 2 y 1/4 por 4 equivale a 4/4 = 1. Por tanto, los valores de a, b y c también han verificado a la segunda ecuación del sistema de ecuaciones lineales, porque el valor esperado (1) es igual al calculado (1).

Ahora, sustituyamos en la tercera y última ecuación del sistema

El primer miembro es a/2 y, como a = 6, nos queda 6/2 = 3. Ahora, hacemos los cálculos en la expresión del segundo miembro (con b = 8 y c = 4)

b/8 + c/2 = 8/8 + 4/2 = 1 + 2 = 3.

Entonces, el resultado obtenido en el primer miembro (el 3) es igual al resultado obtenido en el segundo miembro (3). Por tanto, a = 6, b = 8 y c = 4 también han verificado a la tercera ecuación del sistema de ecuaciones lineales.

Así, podemos concluir que a = 6, b = 8 y c = 4 son las soluciones del sistema de ecuaciones lineales

(Obviamente, si te permitirán el uso de calculadora científica en la prueba de admisión, los cálculos que vistes se harían en una sola acción).

1.  Esta estrategia la puedes aplicar para determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Observación: Toma en cuenta que es necesario que en el ejercicio te pidan -explícita o implícitamente- las soluciones (todos los valores de las letras) del sistema de ecuaciones lineales. Para observar la estrategia en acción, mira y escucha el siguiente vídeo

2.  Puedes aplicar esta estrategia indistintamente si te permiten o no el uso de calculadora; dado que en los exámenes de admisión en los que no te permitan el uso de la calculadora, los sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas son, general y relativamente, sencillos.

EJERCICIOS POR PRACTICAR. ESTRATEGIA: SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR SUSTITUCION

Acierta con la opción correcta utilizando la estrategia sugerida. Al practicar con varios ejercicios, mejorarás el dominio de la estrategia y reducirás el tiempo en hacer los cálculos. ¡Ánimo!

SITUACION 2. DADOS LOS VALORES DE DOS INCÓGNITAS

En esta situación, la estrategia es semejante a la expuesta en la situación 1. Únicamente que en las opciones han de encontrarse 2 valores de las variables; es decir, sólo dos variables serán conocidas en cada una de las opciones. Te advierto que, si eres lento haciendo cálculos aritméticos y no te permitirán el uso de la calculadora, probablemente esta estrategia no sea viable para ti y desees utilizar la estrategia que te explico en la situación 3. Pero no es mala idea practicar ésta estrategia por si a la hora de resolver un sistema (en la prueba de admisión) se te olvidan los métodos de solución –RECUERDA QUE YO SOLO PRETENDO OFRECERTE ALTERNATIVAS– Veamos un ejemplo:

¿Cuál es el valor de “m” y “n” en el siguiente sistema

Sustituiremos los valores de “m” y “n” en la primera ecuación (que han de estar en las opciones), esto permitirá determinar el valor de “p”. Estos mismos valores de “m”, “n” y “p” deben verificar a la segunda y tercera ecuación.

·         Iniciemos con los valores de la opción A. Donde m = 2, n = -1

3m – 2n + 4p = 2

3(2) – 2(-1) +4p = 2

Observa que sustituí en lugar de “m” el 2 y en lugar de “n” el -1. Como 3(2) = 6 y -2(-1) = + 2, obtenemos:

6 + 2 + 4p = 2

8 + 4p = 2

Dado que el 8 está sumando en el primer miembro de la ecuación lo enviaré a restar al segundo miembro y nos queda

4p = 2 – 8

       

               4p = - 6      (observa que: 2 – 8 = –6)

Como el cuatro multiplica a “p”, lo envío a dividir al segundo miembro

p = -6/4 = -3/2

(observa que simplifiqué a la fracción -6/4, extrayendo mitad al 6 y al 4)

®    Ahora, sustituimos m = 2, n = -1 y p = -3/2 en la segunda ecuación

m + 3n – 6p = 8

2 + 3(-1) – 6(–3/2) =

Dado que +3(–1) = –3 y –6(–3/2) = 9, obtenemos

2 + 3(–1) – 6(–3/2) = 2 – 3 + 9 = 8

Puedes ver que dichos valores (m = 2, n = -1 y p = -3/2) han verificado a la segunda ecuación (los cálculos han dado 8), lo cual obliga a comprobar si éstos mismos valores verifican a la tercera ecuación

Sustituyamos m = 2, n = -1 y p = -3/2 en la tercera ecuación

2m – n – 2p = 0

2(2) – (–1) – 2(–3/2)

Como –(–1) = +1 y –2(–3/2) = +3, obtenemos

2(2) – (–1) – 2(–3/2) = 4 + 1 + 3 = 8

Podemos ver que los valores de la opción A (m = 2, n = -1 y p = -3/2) NO VERIFICAN a la tercera ecuación (esperábamos que los cálculos dieran 0; pero han dado 8), por lo tanto, la opción A es incorrecta.

·         Pongamos a prueba la opción B. Cuyos valores son m = 4, n = 1

Iniciemos sustituyendo m = 4, n = 1 en la primera ecuación

3m – 2n + 4p = 2

3(4) – 2(1) + 4p = 2

Como 3(4) = 12 y –2(1) = –2, obtenemos

12 – 2 + 4p = 2

    

            10 + 4p = 2   (observa que 12 – 2 = 10)

Como el 10 está sumando en el primer miembro, lo enviamos a restar al segundo miembro

4p = 2 – 10

4p = –8

Dado que el 4 multiplica a “p”, lo enviamos al segundo miembro a dividir

p = –8/4 = –2

Ahora, sustituimos m = 4, n = 1 y p = -2 en la segunda ecuación

m + 3n – 6p = 8

4 + 3(1) – 6(–2)

Dado que +3(1) = +3 y –6(–2) = +12, obtenemos

4 + 3(1) – 6(-2) = 4 + 3 + 12 = 19

Como esperábamos que el resultado fuese 8, la opción B es incorrecta.

·         Ahora con la opción C. Donde m = 1, n = 3

Sustituyamos m = 1, n = 3 en la primera ecuación

3m – 2n + 4p = 2

3(1) – 2(3) +4p = 2

Observa que sustituí en lugar de “m” el 1 y en lugar de “n” el 3. Como 3(1) = 3 y  –2(3) = –6, obtenemos:

3 – 6 + 4p = 2

                –3 + 4p = 2    (observa que 3 – 6 = –3)

Dado que el 3 está restando en el primer miembro de la ecuación lo enviaré a sumar al segundo miembro y nos queda

4p = 2 + 3

4p = 5

Como el cuatro multiplica a “p”, lo envío a dividir al segundo miembro

p = 5/4

®    Ahora, sustituimos m = 1, n = 3 y p = 5/4 en la segunda ecuación

m + 3n – 6p = 8

1 + 3(3) – 6(5/4) =

Dado que +3(3) = 9 y –6(5/4) = –15/2, obtenemos

1 + 3(3) – 6(5/4) = 1 + 9 – 15/2 = 5/2

Podemos ver que dichos valores (m = 1, n = 3 y p = 5/4) NO VERIFICAN a la segunda ecuación (esperábamos que los cálculos dieran 8; pero han dado 5/2), por lo tanto, la opción C es incorrecta.

·         Veamos qué pasa con la opción D. con m = 2 y n = 3.

      

     Sustituyamos m = 2 y n = 3 en la primera ecuación

3m – 2n + 4p = 2

3(2) – 2(3) +4p = 2

Observa que sustituí en lugar de “m” el 2 y en lugar de “n” el 3. Como 3(2) = 6 y –2(3) = –6, obtenemos:

6 – 6 + 4p = 2

      4p = 2     (mira que 6 – 6 = 0).

Como el cuatro multiplica a “p”, lo envío a dividir al segundo miembro

p = 2/4 = ½

(observa que simplifiqué la fracción 2/4, extrayendo mitad al 2 y al 4).

Ahora, sustituimos m = 2, n = 3 y p = 1/2 en la segunda ecuación

m + 3n – 6p = 8

2 + 3(3) – 6(1/2) =

Dado que +3(3) = 9 y –6(1/2) = –3, obtenemos

2 + 3(3) – 6(1/2) = 2 + 9 – 3 = 8

Puedes ver que dichos valores (m = 2, n = 3 y p = 1/2) han verificado a la segunda ecuación (los cálculos han dado 8, el cual era el valor esperado) lo cual obliga a comprobar si éstos mismos valores verifican a la tercera ecuación

Sustituyamos m = 2, n = 3 y p = 1/2 en la tercera ecuación

2m – n – 2p = 0

2(2) – (3) – 2(1/2)

Como –(3) = –3 y –2(1/2) = –1, obtenemos

2(2) – (3) – 2(1/2) = 4 – 3 – 1 = 0

Podemos ver que los valores de la opción A (m = 2, n = 3 y p = 1/2) HAN VERIFICADO a la tercera ecuación (esperábamos que los cálculos dieran 0; y ha dado 0), por lo tanto, la opción E es correcta.

EJERCICIOS POR PRACTICAR. ESTRATEGIA: SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR SUSTITUCION

Acierta con la opción correcta utilizando la estrategia sugerida. Al practicar con varios ejercicios, mejorarás el dominio de la estrategia y reducirás el tiempo en hacer los cálculos. ¡Ánimo!

SITUACION 3. DADO EL VALOR DE UNA INCOGNITA

En esta situación, en la que sólo una variable será conocida en cada una de las opciones, lo mejor es utilizar uno de los métodos de solución estudiados en secundaria. En este blog te comparto el método de solución que, por experiencia, es el que resulta más comprensible para los alumnos. Por cierto, también puedes utilizarlo para determinar el valor de todas las incógnitas. RECUERDA, YO PRETENDO, ÚNICAMENTE, OFRECERTE ALTERNATIVAS.

En esta situación, sigue el siguiente procedimiento:

  1. Asegúrate que los términos que contienen la misma variables, en las tres ecuaciones, queden alineados verticalmente (en una línea imaginaria vertical). Por sugerencia, agrupa todos los términos que contengan letras en el primer miembro y, los independientes (los términos que no contienen letras) en el segundo miembro. Además, procura mantener un orden alfabético que te permita visualizar mejor el proceso.

    2. Construye la matriz del sistema, la cual está formada por los coeficientes de las incógnitas (números que acompañan a cada letra).

    3.    Calcula el determinante de la matriz del sistema.

   4.    A partir de la matriz construida en el paso 2, elimina los coeficientes de la incógnita que desees calcular y sustituye a éstos por los términos independientes.

   5.    Calcula el determinante de la matriz anterior.

   6.    Para saber cuál es valor de la incógnita, divide el resultado obtenido en el paso 5 entre el resultado obtenido en el paso 3.

Veamos un ejemplo.

En el sistema de ecuaciones lineales

El valor de “b” es:

     A.   -1            B. -3            C. 5            D. 2           E. -4

De acuerdo con el primer paso, descrito arriba, las ecuaciones están desordenadas. Por tanto, lo que debemos hacer es alinear a todos los términos que contienen “a” en una línea imaginaria vertical. De igual forma con los que contienen “b” y “c”.

    ü  Transformemos la primera ecuación

5a + 7c = 4b + 27

Dado que “4b” se encuentra sumando en el segundo miembro, lo enviamos a restar al primer miembro, así

5a – 4b + 7c = 27

Observa que todos los términos con literales se encuentran en el primer y están en orden alfabético.

    ü  Ahora, transformamos la segunda ecuación

2a = 12 – b + 3c

Puedes ver que los términos con las literales “b” y “c” se encuentran en el segundo miembro; además, “b” está restando y “3c” está sumando en el segundo miembro de la ecuación; por lo tanto, “b” deberá estar sumando y “3c” estará restando en el primer miembro de la ecuación, a como sigue

2a + b – 3c = 12

    ü  Por último, en la tercera ecuación del sistema, vemos que todos los términos con literales se encuentran en el primer miembro; pero, el término independiente (el -40) también se encuentra en el primer miembro. Por tanto, como el 40 está restando en el primer miembro, lo enviamos a sumar al segundo miembro

10a + 3b – c = 40

Por lo tanto, al reordenar el sistema de ecuaciones, se obtiene

Al seguir con el segundo paso:

En la primera ecuación, los coeficientes de a, b y c, respectivamente, son 5, - 4 y 7 (lee la primera ecuación. Tienes cinco “a”, menos cuatro “b” y siete “c”).

En la segunda ecuación, los coeficientes de a, b y c, respectivamente, son 2, 1 y -3 (lee la segunda ecuación. Tienes dos “a”, una “b” y menos tres “c”).

En la tercera ecuación, los coeficientes de a, b y c, respectivamente, son 10, 3 y -1 (lee la tercera ecuación, tienes diez “a”, tres “b” y menos una “c”).

La matriz del sistema es

Para realizar el paso 3, calcular el determinante de la matriz, puedes hacerlo así:

   a.    Agrega a la derecha de la matriz las dos primeras columnas. Te quedarán tres diagonales principales (los elementos que se encuentran alineados desde la parte superior izquierda a la parte inferior derecha) y tres diagonales secundarias (los elementos que se alinean desde la parte inferior izquierda a la parte superior derecha).

  b.    Multiplica los elementos de la primera diagonal principal; después los de la segunda diagonal principal y por último los de la tercera diagonal principal. Suma (previendo si los signos de éstos son diferentes o iguales) los tres productos anteriores.

   c.    Multiplica los elementos de la primera diagonal secundaria; después los de la segunda diagonal secundaria y por último los de la tercera diagonal secundaria. Suma (previendo si los signos de éstos son diferentes o iguales) los tres productos anteriores.

   d.    Resta (observando si los signos son iguales o diferentes) la suma del “paso b” menos la suma del “paso c”. La diferencia será el determinante de la matriz.

Producto de los elementos de la primer diagonal principal: (5)(1)(–1) = –5

Producto de los elementos de la segunda diagonal principal: (–4)(–3)(10) = 120

Producto de los elementos de la tercera diagonal principal: (7)(2)(3) = 42

La suma de los productos de las diagonales principales es:

– 5 + 120 + 42 = – 5 + 162 = 157

De forma semejante procedemos con los elementos de las diagonales secundarias

Producto de los elementos de la primer diagonal secundaria: (7)(1)(10) = 70

Producto de los elementos de la segunda diagonal secundaria: (5)(–3)(3) = – 45

Producto de los elementos de la tercer diagonal secundaria: (–4)(2)(–1) = 8

La suma de los productos de las diagonales secundarias es:

70 – 45 + 8 = 78 – 45 = 33

El determinante es la diferencia de la suma de los productos de las diagonales principales (157), menos la suma de los productos de las diagonales secundarias (33).

Así, el determinante de la matriz del sistema es:

157 – 33 = 124

Siguiendo lo indicado en el “paso 4”. Como estamos interesados en cuánto vale “b”. En la matriz del sistema, eliminamos los coeficientes de “b” (–4, 1, 3) y, en su lugar escribimos (en el mismo orden en el cual se encuentran en la ecuación) los términos independientes 27, 12 y 40 (mira el sistema de ecuaciones). Por tanto, de acuerdo con el “paso 5”, calcularemos el determinante de la matriz resultante, con el procedimiento descrito para ello.

Producto de los elementos de la primer diagonal principal: (5)(12)(–1) = –60

Producto de los elementos de la segunda diagonal principal: (27)(–3)(10) = –810

Producto de los elementos de la tercer diagonal principal: (7)(2)(40) = 560

La suma de los productos de las diagonales principales es:

– 60 + (–120) + 560 = – 60 – 810 + 560 = –870 + 560 = –310

Producto de los elementos de la primer diagonal secundaria: (7)(12)(10) = 840

Producto de los elementos de la segunda diagonal secundaria: (5)(–3)(40) = –600

Producto de los elementos de la tercer diagonal secundaria: (27)(2)(–1) = –54

La suma de los productos de las diagonales secundarias es:

840 – 600 – 54 = 840 – 654 = 186

El determinante es la diferencia de la suma de los productos de las diagonales principales (–310), menos la suma de los productos de las diagonales secundarias (186).

Así, el determinante de la matriz es:

–310 – 186 = –496

El valor de “b” de acuerdo con el “paso 6” es:

b = –496 ÷ 124 = –4

Por lo tanto, la correcta es la opción E.

POR SI TE PREGUNTAS DONDE ESTAN LOS EJERCICIOS POR PRACTICAR DE ESTA SECCION. PUEDES USAR LOS SISTEMAS PROPUESTOS EN LA PRIMER SECCION.

SITUACION 4. SI USARAS LA CALCULADOAR CASIO: fx-570ES PLUS.

Observación: Igual funciona para la versión en español de éste modelo (CASIO: FX-991LA PLUS).

   1.    Presiona la tecla MODE (MODO).

   2.    Presiona la tecla 5 (lo que corresponde a EQN o ECUAC).

   3.    Presiona la tecla 2 (lo que corresponde a: a_nx+b_ny+c_nz=d_n) se abrirá una ventana similar a la siguiente:

El 1, 2 y 3 que te aparecen a la izquierda sólo refleja que resolverás un sistema de tres ecuaciones.

   4.    A partir de la primera ecuación, escribe el primer coeficiente y presiona la tecla igual (=), el cursor se moverá al siguiente cuadrito (hacia la derecha) y escribe el segundo coeficiente, presiona la tecla igual (=); escribe el tercer coeficiente y presiona la tecla igual; por último, escribe el término independiente y presiona la tecla igual. Continúa de forma semejante con la segunda y tercera ecuación.

   5.    Al rellenar todos los cuadritos, presiona la tecla igual y te aparecerá el valor de la primera incógnita (X = ); presionas otra vez la tecla igual y aparecerá el valor de la segunda incógnita (Y = ); presiona otra vez la tecla igual y aparecerá el valor de la tercera incógnita (Z = ). Observación: Obviamente, si el sistema tiene las letras a, b y c (u otras) y, tú tienes ordenado el sistema en orden alfabético. El valor de X= será el de “a”, el de Y= será el de “b”, el de Z= será el de “c”.

Para usar la calculadora CASIO fx-570ES PLUS o CASIO fx-991LA PLUS. Tomemos como ejemplo al sistema

Digítas el primer coeficiente de la primera ecuación (el 5), presionas la tecla igual y en la pantalla aparecerá así

Continúa así hasta completar todos los cuadritos

Una vez rellenos todos los espacios, al presionar la tecla igual, aparecerá: x = 5, que, para nuestro sistema descrito arriba, realmente es “a = 5”. Si vuelves a presionar la tecla igual, aparecerá y = -4, lo cual corresponde a “b = -4”. Presiona la tecla igual y aparecerá z = -2, que para nosotros es “c = -2”.

OBSERVACIONES FINALES

  1.    Al utilizar la estrategia de sustituir los valores de las opciones en los sistemas de ecuaciones lineales ten cuidado con el orden de las operaciones aritméticas. Si existen signos de agrupación inicia con las operaciones más internas hasta simplificar los signos de operación.

   2.    Recuerda la jerarquía de operaciones, cuyo orden es:

a.   Simplificar signos de agrupación.

b.   Calcula las potencias y las raíces.

c.   Realiza las multiplicaciones y divisiones, según en el orden que se encuentren de izquierda a derecha. Es decir, si tienes una multiplicación y después una división, primero realizas la multiplicación; pero, si tienes una división y después una multiplicación, primero realizas la división. No olvides la ley de los signos.

d.   Realiza las sumas y las restas recordando que términos con signos iguales debes sumar y el signo conservar y, términos con signos diferentes debes restar y ha de prevalecer el signo de la magnitud mayor.

   3.    Si te permiten el uso de la calculadora en el examen de admisión, igualmente debes tener cuidado al realizar los cálculos. Recuerda que la calculadora jamás pensará por ti en términos de cómo escribes las operaciones en la calculadora.

  4.    Las ventajas de las estrategias descritas en la situación 1, 2 y 4, es que no necesitas saber resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas para acertar con la opción correcta.

Siempre estoy anuente y dispuesto a recibir:

   1.    Crítica constructiva (crítica que me ayude a mejorar contenido y estrategias).

   2.    Preguntas para aclaración de dudas.

   3.    Ayuda con:

a)    Traducciones a otros idiomas de este blog y los vídeos de mi canal en Youtube.

b)    Enviarme tipos de ejercicios, problemas o contenido no abordados en mi blog o canal de Youtube y que tú quieras sean abordados.

c)    Con el diseño de miniaturas en mis vídeos de Youtube.

   4.    Sugerencias en el abordaje de la temática (que tan clara están explicadas las estrategias para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas en un examen de admisión).

  5.    Cualquier otro asunto que consideres necesario comunicarme en función de mejorar contenido del blog y vídeos de mi canal.

   6.    De antemano gracias por tu aporte, leer el blog y ver los vídeos de mi canal en Youtube.

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